wordpressで
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「PHPの更新が必要です」
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とダッシュボードに表示されました。

そこで、value-serverのコントロールパネルのPHPバージョン設定で
PHP5.6（モジュール）→php73
に変更しました。

すると
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サイトで技術的な問題が発生しています。サイト管理者のメールを確認して指示に従ってください。
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という表示がブラウザーにでてしまいます。
php72、PHP7.1(cgi)、PHP7.0(cgi)と同じような症状になります。
PHP5.6（cgi）は大丈夫でした。

PHP Compatibility Checkerを実行させてもプラグインなどに問題はないようです。

value-severのPHPを最新版に変更してもwordpressが動いている方いますか？
何が問題なのでしょうか？

まぁちゃん 様

日頃より弊社サービスをご愛顧くださり、ありがとうございます。
お問い合わせの件についてご案内させていただきます。

WordPress の「デバッグモード」を有効にし、原因を探ってみてはいかがでしょうか。

wp-config.php 内で、下記のように変更する事でデバッグモードが有効になります。

define('WP_DEBUG', false);
　　　　↓
define('WP_DEBUG', true);

以上、ご確認の程よろしくお願いいたします。
その他ご不明な点がございましたら、お気軽にお問い合わせください。

今後とも弊社サービスをよろしくお願い申しあげます。