coreserverのMySQLデータベースに外部ホストからアクセスする方法はないでしょうか？
それもできれば、SELECTだけを行いたいのですが。

有償販売するプログラムの、使用期限確認をするために、ユーザー毎の有効期限を記述したtableを置いて、プログラム実行時にユーザーIDで検索し、有効期限の確認を取らせることを想定しています。

日頃より弊社サービスをご愛顧くださり、ありがとうございます。
お問い合わせの件についてご案内させていただきます。

弊社データベースは、ローカルホストからの接続のみ許可しております。

MySQLデータベースと同一サーバーのお客様コンテンツに、取得用の
スクリプトを設置し、MySQLにはローカルから接続し、取得用のスクリプトに
対して、外部から実行する等、他の方法をご検討いただきましたら幸いで
ございます。

その他ご不明な点がございましたら、お気軽にお問い合わせください。